Prismas
Um prisma é um poliedro limitado por dois polígonos e paralelos (as bases) e vários paralelogramos (as faces laterais).
A altura do prisma é a distância entre as bases.
Se todas as faces laterais são retângulos, elas serão perpendiculares às bases e então o prisma chama-se prisma reto.
Se as faces laterais não são perpendiculares às bases, chama-se prisma oblíquo.
Um prisma é regular quando tem um prisma reto que cujas bases são polígonos regulares.
As arestas laterais de um prisma são segmentos iguais e paralelos entre si. Nos prismas retos são prependiculares às bases.
Classificação dos prismas segundo o polígono das bases
Conforme os polígonos das bases são triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc, o prisma chama-se triangular, quadrangular, pentagonal, etc.
Os prismas rectos cujas bases são polígonos regulares chamam-se prismas regulares.
Quer em objetos de uso corrente, quer na Natureza, encontramos com frequência formas prismáticas.
Área do prisma
Área lateral = Perímetro da base x altura
Área total = Área lateral +2 x Área da base
Volume do prisma
O volume de um prisma reto ou oblíquo, é:
Volume do prisma = Área da base x altura
Recordamos que a altura de um prisma é a distância entre as duas bases. Se o prisma é reto, a altura coincide com o comprimento das arestas laterais.
TD
1) Calcule o volume de um cubo que tem 10cm de aresta.
Solução. O cubo possui todas as dimensões com mesma medida. Seu volume é calculado pela fórmula: V = a3 . Logo V = (10)3 = 1000cm3.
2) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm. Determine sua área lateral.
Solução. A área lateral é a soma das cinco áreas dos retângulos que são as faces laterais. Como a base é regular, todas as arestas possuem a mesma medida. Logo, temos:
i) Área de uma face: 4 x 20 = 80cm2
ii) Área lateral: 5 x (80cm2) = 400cm2.
3) Um prisma quadrangular regular tem sua aresta da base medindo 6m. Sabendo que a área lateral do prisma mede 216m², calcule sua altura.
Solução. Se o prisma é regular então suas bases são quadradas. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces. Temos:
216 = 4x6xh
h =216/24 h = 9
4) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total.
Solução. No triângulo isósceles a altura também é mediana.
i) Pela relação de Pitágoras temos:
logo a = 5cm
ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale
1/3 x 18 = 6cm
iv) área total
Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
At= 2x 12 + 108= 132cm²
5) Calcule a área total de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado.
Solução. A área total de um hexágono regular vale o sêxtuplo da área do triângulo eqüilátero.
Temos: .
Ab =6x (6²x ṛaiz quadrada de3)/4 = 93,5
Al = 6x6x10 = 360
At = 2 x93,5 +360 = 547cm²
6)Um armário, com a forma de um paralelepípedo de dimensões 0,5m, 2,5m e 4m, deve ser pintado. O rendimento da tinta empregada é de 5m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parte interna do armário.
Solução. Calculando a área total, temos: .
At = 2x{(0,5)(2,5)+(0,5)(4)+(2,5)(4)} = 26,5m²
Logo, empregando 5m2 por litro, serão gastos 26,5/5= 5,3 litros.
7)A garagem subterrânea de um edifício tem 18 boxes retangulares, cada um com 3,5m de largura e 5m de comprimento. O piso da garagem é de concreto e tem 20cm de espessura. Calcule o volume de concreto utilizado para o piso da garagem.
Solução. O piso terá a forma de um paralelepípedo muito fino, já que sua espessura é de 0,20m. Esse piso entrará em cada box. O volume de cada piso é V = (3,5) x (5) x (0,20) = 3,5m3. O volume total utilizado nos 18 boxes será V = (18) x (3,5) = 63m3.
8) Dispondo-se de uma folha de cartolina, de 70cm de comprimento por 50cm de largura, pode – se construir uma caixa, sem tampa, cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada lado. Determine o volume desta caixa.
Solução. O desenho mostra a parte retirada de cada lado e a caixa construída na forma de um paralelepípedo.
O volume será V = (54) x (34) x (8) = 14688cm3.
Um prisma é um poliedro limitado por dois polígonos e paralelos (as bases) e vários paralelogramos (as faces laterais).
A altura do prisma é a distância entre as bases.
Se todas as faces laterais são retângulos, elas serão perpendiculares às bases e então o prisma chama-se prisma reto.
Se as faces laterais não são perpendiculares às bases, chama-se prisma oblíquo.
Um prisma é regular quando tem um prisma reto que cujas bases são polígonos regulares.
As arestas laterais de um prisma são segmentos iguais e paralelos entre si. Nos prismas retos são prependiculares às bases.
Classificação dos prismas segundo o polígono das bases
Conforme os polígonos das bases são triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc, o prisma chama-se triangular, quadrangular, pentagonal, etc.
Os prismas rectos cujas bases são polígonos regulares chamam-se prismas regulares.
Quer em objetos de uso corrente, quer na Natureza, encontramos com frequência formas prismáticas.
Área do prisma
Área lateral = Perímetro da base x altura
Área total = Área lateral +2 x Área da base
Volume do prisma
O volume de um prisma reto ou oblíquo, é:
Volume do prisma = Área da base x altura
Recordamos que a altura de um prisma é a distância entre as duas bases. Se o prisma é reto, a altura coincide com o comprimento das arestas laterais.
TD
1) Calcule o volume de um cubo que tem 10cm de aresta.
Solução. O cubo possui todas as dimensões com mesma medida. Seu volume é calculado pela fórmula: V = a3 . Logo V = (10)3 = 1000cm3.
2) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm. Determine sua área lateral.
Solução. A área lateral é a soma das cinco áreas dos retângulos que são as faces laterais. Como a base é regular, todas as arestas possuem a mesma medida. Logo, temos:
i) Área de uma face: 4 x 20 = 80cm2
ii) Área lateral: 5 x (80cm2) = 400cm2.
3) Um prisma quadrangular regular tem sua aresta da base medindo 6m. Sabendo que a área lateral do prisma mede 216m², calcule sua altura.
Solução. Se o prisma é regular então suas bases são quadradas. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces. Temos:
216 = 4x6xh
h =216/24 h = 9
4) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total.
Solução. No triângulo isósceles a altura também é mediana.
i) Pela relação de Pitágoras temos:
logo a = 5cm
ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale
1/3 x 18 = 6cm
iv) área total
Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
At= 2x 12 + 108= 132cm²
5) Calcule a área total de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado.
Solução. A área total de um hexágono regular vale o sêxtuplo da área do triângulo eqüilátero.
Temos: .
Ab =6x (6²x ṛaiz quadrada de3)/4 = 93,5
Al = 6x6x10 = 360
At = 2 x93,5 +360 = 547cm²
6)Um armário, com a forma de um paralelepípedo de dimensões 0,5m, 2,5m e 4m, deve ser pintado. O rendimento da tinta empregada é de 5m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parte interna do armário.
Solução. Calculando a área total, temos: .
At = 2x{(0,5)(2,5)+(0,5)(4)+(2,5)(4)} = 26,5m²
Logo, empregando 5m2 por litro, serão gastos 26,5/5= 5,3 litros.
7)A garagem subterrânea de um edifício tem 18 boxes retangulares, cada um com 3,5m de largura e 5m de comprimento. O piso da garagem é de concreto e tem 20cm de espessura. Calcule o volume de concreto utilizado para o piso da garagem.
Solução. O piso terá a forma de um paralelepípedo muito fino, já que sua espessura é de 0,20m. Esse piso entrará em cada box. O volume de cada piso é V = (3,5) x (5) x (0,20) = 3,5m3. O volume total utilizado nos 18 boxes será V = (18) x (3,5) = 63m3.
8) Dispondo-se de uma folha de cartolina, de 70cm de comprimento por 50cm de largura, pode – se construir uma caixa, sem tampa, cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada lado. Determine o volume desta caixa.
Solução. O desenho mostra a parte retirada de cada lado e a caixa construída na forma de um paralelepípedo.
O volume será V = (54) x (34) x (8) = 14688cm3.
