Calculando raiz quadrada.

Não se sabe ao certo quando nem onde surgiram as raízes quadradas. Admite-se que elas foram muito utilizadas por matemáticos gregos, principalmente após a descoberta do teorema de Pitágoras. O problema começava quando os valores que deveriam ser calculados para as raízes quadradas eram diferentes dos quadrados perfeitos, cuja resposta é exata. Por exemplo, a raiz quadrada de 64 é 8, a de 25 é cinco e assim por diante. Mas, e se necessitarmos calcular a raiz quadrada do número 2? As raízes quadradas são importantes para a resolução de diversos problemas matemáticos, como as equações de segundo grau, e diversos problemas físicos.

Vários métodos foram criados desde aquela época até os dias atuais, todos procurando facilitar cada vez o cálculo destas raízes. Os métodos que ficaram mais conhecidos foram os métodos babilônicos e o das frações continuadas, não só pelos resultados precisos, mas pela rapidez com que eles eram calculados.

Mas existe um método de cálculo de raízes muito simples e também muito preciso. Trata-se do método Marmo para o cálculo de raízes quadradas. Vejamos um exemplo de sua aplicação.

Suponha que você deseja calcular a raiz quadrada de 24. Com uma calculadora isto seria bastante simples. Mas o método Marmo é tão simples quanto. Veja.

Em primeiro lugar, ache a raiz quadrada mais próxima do valor que desejamos (em nosso caso, 24) cujo valor seja exato; neste caso, é a raiz de 25, cujo resultado é 5.

Agora, some os valores que estão dentro das duas raízes:

O resultado será: 49

Pegue o resultado da raiz quadrada cujo resultado é exato, no caso, a raiz quadrada de 25 é igual a 5 e multiplique por 2.

Agora, pegue o resultado da soma das duas raízes, 49, e divida por 10, o resultado da raiz exata multiplicada por 2. Ficará assim: 4,9

Com o auxílio de uma calculadora, vemos que o resultado é 4,89. Portanto, o resultado obtido através do método Marmo é uma boa aproximação do resultado.

Outro exemplo:

- Calcule a raiz quadrada de 35.

Inicialmente, some a raiz de 35 com número mais próximo cuja raiz é exata, neste caso, 36.

Agora, calcule o resultado da raiz quadrada exata e multiplique-o por 2:

Divida o valor encontrado na soma das raízes pelo valor multiplicado por 2 da raiz exata:

Assim, pelo método Marmo para o cálculo de raízes quadradas:

Se compararmos com o valor obtido através da calculadora, 5,9160, vemos que ele também é muito preciso em relação à uma calculadora, por exemplo.

O método Marmo pode ser utilizado para o cálculo de qualquer raiz quadrada e foi desenvolvido pelo Professor Antônio Marmo de Oliveira, um dos maiores especialistas em Matemática Computacional do Brasil.

Prof. Flávio da costa Gonçalves

TD – FÍSICA 3º ANOS A E B – MANHÃ-2011

COLÉGIO ESTADUAL OTACÍLIO MOTA – TD – FÍSICA 3º ANOS A E B – MANHÃ-2011
PROFESSOR RONALDO PAIVA
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1.Dínamos de bicicleta, que são geradores de pequeno porte, e usinas hidrelétricas funcionam com base no processo de indução eletromagnética, descoberto por Faraday. As figuras abaixo representam esquematicamente o funcionamento desses geradores.

Nesses dois tipos de geradores, a produção de corrente elétrica ocorre devido a transformações de energia:
a)mecânica em energia elétrica.
b)potencial gravitacional em energia elétrica.
c)luminosa em energia elétrica.
d)potencial elástica em energia elétrica.
e)eólica em energia elétrica.

 2.Uma corrente elétrica de intensidade 16A percorre um condutor metálico. A carga elétrica elementar é  e = 1,6 . 10-19 C. O número de elétrons que atravessam uma secção transversal desse condutor em 1,0 min é de:   
a) 1,0 . 10^20 b) 3,0 . 10^21 c) 6,0 . 10^21 d) 16 e) 8,0 . 10^19    
 
3. (AFA) Num fio de cobre passa uma corrente contínua de 20A. Isso quer dizer que, em 5,0s, passa por uma secção reta do fio um número de elétrons igual a: (e = 1,6 . 10-19 C) 

a) 1,25 . 10^20 b) 3,25 . 10^20 c) 4,25 . 10^20 d) 6,25 . 10^20 e) 7,00 . 10^20  
  
4. (UFMG) Uma lâmpada fluorescente contém em seu interior um gás que se ioniza após a aplicação de alta tensão entre seus terminais. Após a ionização, uma corrente elétrica é estabelecida e os íons negativos deslocam-se com uma taxa de 1,0 x 1018 íons / segundo para o pólo A. Os íons positivos se deslocam-se, com a mesma taxa, para o pólo B.   Sabendo-se que a carga de cada íon positivo é de 1,6 x 10-19 C, pode-se dizer que a corrente elétrica na lâmpada será:
  
a) 0,16A b) 0,32A c) 1,0 x 10^18A d) nula e) n.d.a.
 
 5.(Pucpr) Um estudante de Física mede com um amperímetro a intensidade da corrente elétrica que
passa por um resistor e, usando um voltímetro,mede a tensão elétrica entre as extremidades do resistor, obtendo o gráfico a seguir. Pode-se dizer que a resistência do resistor vale:
a) 0,1 . 10² b) 0,01 .10² c) 1. 10 ² d) 10 ² e) 100 ²

6.

7.

Atividade de Matemática 3º anos A e B .23-08-11

Distribuição de frequência em intervalos de classes: Dados contínuos

Para dados quantitativos contínuos, geralmente resultantes de medições de características da qualidade de peças ou produtos, dividimos a faixa de variação dos dados em intervalos de classes. O menor valor da classe é denominado limite inferior (l1) e o maior valor da classe é denominado limite superior (L2).

O intervalo ou classe pode ser representado das seguintes maneiras:

1.onde o limite inferior(l1)da classe é incluído na contagem da frequência absoluta, mas o superior(L2)não;
2.onde o limite superior da classe é incluido na contagem, mas o inferior não.

Podemos escolher qualquer uma destas opções, mas é importante que deixemos claro no texto ou na tabela qual delas está sendo usada. Embora não seja necessário, os intervalos são frequentemente construídos de modo que todos tenham larguras iguais, o que facilita as comparações entre as classes.

Na tabela de distribuição de frequência, acrescentamos uma coluna com os pontos médios de cada intervalo de classe, denotada por xi. Esta é definida como a média dos limites da classe assim, L2 - l1/2(L2 é o limite maior da classe e l1 o menor. ex: 12[-16, onde 12 é l1 e 16 L2) estes valores são utilizados na construção de gráficos.

Algumas indicações na construção de distribuição de frequências são:

Na medida do possível, as classes deverão ter amplitudes iguais.
Escolher os limites dos intervalos entre duas possíveis observações.
O número de intervalos não deve ultrapassar 20.
Escolher limites que facilitem o agrupamento.
Marcar os pontos médios dos intervalos.
Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que dá no mesmo) correspondente.

Histograma

Histograma é uma representação gráfica (um gráfico de barras verticais ou barras horizontais) da distribuição de frequências de um conjunto de dados quantitativos contínuos. O histograma pode ser um gráfico por valores absolutos ou frequência relativa ou densidade. No caso de densidade, a frequência relativa do intervalo i, (fri), é representada pela área de um retângulo que é colocado acima do ponto médio da classe i. Consequentemente, a área total do histograma (igual a soma das áreas de todos os retângulos) será igual a 1. Assim, ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que é indiferente) correspondente. No caso em que os intervalos são de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retângulos serão iguais às frequências relativas (ou iguais às frequências absolutas) dos intervalos correspondentes.
Exemplo de tabela com classes.

Exemplo de Histograma

Num Histograma no eixo x devem ficar os limites das classes e no eixo y as frequências.

Agora é com vocês.

1.Para o Curso de Administração uma classe de uma escola possui as seguintes notas:

36........40........54........31........32........34........43....... 49
50........56........40........42........44........33........54........55
56........59........65........67........50........68........51........54
61........44........39........66........60........36........44........49
36........44........65........42........60........36........54........59
50........69........67........45........69........68........34........55
54........58........32........47........57........25........28........33
a) maior nota;

b) menor nota;

c) amplitude total;

d) tabela contendo: as notas, freqüência relativa, freqüência percentual e Histograma;

e) as cincos melhores notas;

f) as cinco piores notas;

g) classificação das dez primeiras notas;

h) quantas notas estão acima de 75?

i) quantas notas estão abaixo de 45?

j) informe o percentual de notas entre 50 e 68 inclusive.

2.Considere as notas de um teste de inteligência aplicada a 100 alunos:

64....78...66....82.....74....103....78.....86....103....87

73....95...82....89.....73.....92....85.....80.....81....90

78....86...78...101.....85.....98....75.....73.....90....86

86....84...86....76.....76.....83...103.....86.....84....85

76....80...92...102.....73.....87....70.....85.....79....93

82....90...83....81.....85.....72....81.....96.....81....85

68....96...86....70.....72.....74....84.....99.....81....89

71....73...67...105.....74.....98....78.....78.....83....96

95.... 94...88...62.....91.....83....98.....93.....83....76

94.....75...67...95....109.....98....71.....92.....72....73

Faça o rol dos dados , construa uma tabela com frequência relativa e intervalos de classes e faça o histograma.