Equação Exponencial.

Equações são expressões algébricas matemáticas que possuem um sinal de igualdade entre duas partes. A intenção de resolver uma equação é determinar o valor da incógnita (valor desconhecido), aplicando técnicas resolutivas. Veja exemplos:

2x + 9 = 5
4x + 10 = 3x – 45
x + 6 = 2x + 12
2*(x + 2) = 3*(x – 3)

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.

Exemplos de equações exponenciais:

10^x = 100
2^x + 12 = 20
9^x = 81
5^x+1 = 25

Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:

3^x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 3⁷)
3^x = 3^{7     (faz-se o cancelamento das bases)}
x = 7         (restando os expoentes)

O valor de x na equação é 7.


Vamos resolver mais algumas equações exponenciais:


2^{x + 12} = 1024
2^{x + 12} = 2¹⁰
x + 12 = 10
x = 10 – 12
x = – 2


2 ^{4x + 1} * 8 ^{–x + 3} = 16 ^–1
2 ^{4x + 1} * 2 ^{3(–x + 3)} = 2 ^-4
2 ^{4x + 1} * 2 ^{–3x + 9} = 2^-4 
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = – 14


5 ^{x + 3 *} 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 125
5 ^{x + 3} * 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 5 3
x + 3 + x + 2 + x = 3
3x = 3 – 5
3x = – 2
x = –2/3


2 ^{3x – 2} * 8 ^{x + 1} = 4 ^{x – 1}
2 ^{3x – 2} * 2 ^{3(x + 1)} = 2 ^{2(x – 1)}
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1)
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3
4x = – 3
x = –3/4


2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 32
2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 2 ⁵
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4
2x = 2
x = 1
Ainda tem duvida? Veja o vídeo.

Agora tente:

a) 

b)2^x–2 = 16

c)81^{6 + x} = 9 <sup>–2x 

d)</sup>2^x = 1

e)3^x = 27

f)

g)

h)

Exercicios de Geometria Espacial(prisma)

1) (UNICAMP – SP) A figura  ao lado apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm.

 

a) Calcule  a área total do prisma

b) Calcule o volume do prisma.

2) A área da base de um prisma reto é 200 cm² e a altura 80 cm. Calcule o seu volume.

3) Sendo a área lateral de um cubo igual 144 cm², calcule:

a) a aresta      b) a diagonal da face       c) a diagonal do cubo        d) a área total     

      e) o volume

4)Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade.

Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo.

Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários

A) 40 min.
B) 240 min.
C) 400 min.
D) 480 min.

5)No cubo representado na figura

Qual a área do triângulo ABC ?

Questões do ENEM 2013- Matemática-só algumas

Determinantes e Sistemas por Cramer.

 

 Alguns exercícios:

http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/determinantes

http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/sistemas-lineares

Multiplicação de Matrizes.Turmas 2°s A e B - CEOM 2013.

Encontre o valor de x e y resolvendo a seguinte igualdade.

Determine os valores de a e b para que as matrizes sejam comutativas.

           

RESOLUÇÃO DA PROVA 2° BI 2°S A E B (2013)

DISCIPLINA:________________ANO:____TURMA:___ DATA: ___/___/____ PROFESSOR: ________________________________________________________ ALUNO:_______________________________________________________________ ASSUNTO:____________________________________________________________

1.     1.  Um fiscal do Ministério do trabalho faz uma visita mensal a cada uma das cinco empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visita mensal a essa empresa?

      a)180      b)120.    c)100     d)48       e)24

Chamaremos as Empresas de A,B,C,D,E
A primeira a ser visitada pode ser qualquer umas das 5
A segunda a ser visitada será uma das quatro restantes 4
A terceira =restantes 3
A quarta= 2 restantes
A quinta = ultima que restou.
T=5*4*3*2*1=120

2. (FGV - SP) - Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco variedades de bebidas e três sobremesas diferentes.

Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

a)90 b)100 c) 110 d)130 e)120.

PFC   2 x 4 x  5 x 3 = 120

3. (UFGO) - No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

a)20 b)60 c)120 d)125. e)243

Deve-se multiplicar as possibilidades de cada digito...
para cada um dos 3 temos 5 possibilidades... ou seja, a-e-i-o-u
se multiplicarmos as possibilidades dos digitos temos: 5*5*5 = 5^3 = 125

04. (CEFET - PR) - Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba têm 7 algarismos, cujo primeiro dígito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é:

a)1000000 b)2000000. c)3000000

d)6000000 e)7000000

Temos 7 algarismos, sendo que para o 1° é definido o 2, portanto 1 opção, para os demais temos 10 opções(0,...,9)

_  _    _    _    _    _    _

1x10x10x10x10x10x10= 1000000

5. (UEPG-PR) Quantos números pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir?

a)156 b)60 c)6 d)12 e)216

Para um número ser par o algarismo das unidades é par.
1º Caso: Se o número termina com zero, as possibilidades são 4 . 3 . 2 . 1 = 24. O algarismo das unidades está fixado (o zero), então só existe uma possibilidade. O algarismo da casa do milhar pode ser qualquer um outro que sobrou, no caso 4 algarismos; a casa da centena ficará preenchida com um dos 3 restantes, os das dezenas com outros 2. 

2º Caso: Se o número não termina com zero, temos para as unidades 2 possibilidades (2 ou 4), ao passo que para a casa do milhar temos agora 3 possibilidades, porque nem pode ser zero e um dos pares obrigatoriamente ocupará a casa das unidades. Para a casa das centenas temos 3 possibilidades, pois o zero aí já entra. Para as centenas 2 possibilidades e 1 possibilidade para as dezenas, logo...
3 . 3 . 2 . 2 = 36.

Somando os dois casos dá 60 números possiveis pares de 4 algarismos que podem ser formandos com os algarismos dados.

 6. (UEL - PR) - Para responder a certo questionário, preenche-se o cartão apresentado abaixo, colocando-se um "x" em uma só resposta para cada questão.

CARTÃO RESPOSTA

Questões  1  2  3  4   5

Sim

Não

De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário?

a)3125 b)120 c)32 d)25 e)10

Para a primeira questão temos duas opções( sim /não) e assim para as demais, logo, 

2x2x2x2x2=32

7. Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?

a)12       b)18       c)36       d)72       e)108

Então, temos os trabalhos a, b, c e d e as empresas x, y e z: 
Caso x fique com a e b, temos 2 maneiras distintas, pois o c pode ficar ou em y ou em z e o d tambem. 
Caso x fique com a e c, temos mais 2 maneiras distintas. 
Caso x fique com a e d, temos outras 2 maneiras diferentes. 
Até agora temos 6. 
Caso x fique com b e outra que não a, temos mais 4 maneiras diferentes. 
Caso x fique com c e d, temos 2 maneiras diferentes. 
Então, caso seja a empresa x a ficar com 2 trabalhos, temos 12 maneiras distintas de colocar os trabalhos, mas como nós nao sabemos que empresa é que vai fazer os dois trabalhos: 
Caso y faça 2 trabalhos, temos 12 maneiras distintas. 
Caso z faça 2 trabalhos, temos mais 12 maneiras diferentes. 
Assim chegamos à conclusão que temos 36 maneiras diferentes de distribuir os trabalhos. 

8.De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem?

a)360     b)720     c)1080   d)1440  e)1800

Nesse caso as letras A e R devem formar um "bloco", logo, elas devem ser permutadas como se fossem uma coisa só, dessa forma:
AR E L O G I
EG AR L O I
etc
é preciso também permutar as letras dentro do "bloco":
AR/RA
logo, com 5 letras mais um "bloco" podemos escrever ELOGIAR de 6! maneiras (o bloco conta como se fosse uma letra), mas permutando também as 2 letras do bloco teremos:
6!*2!=6*5*4*3*2*1*2*1 = 1440 letras 

 9. (FATEC-SP) Considere todos os números de 5 algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números ao acaso, a probabilidade dele ser um número ímpar é:

(a) 1      (b) ½      (c) 2/5      (d) ¼      (e) 1/5

Para que o número seja ímpar a unidades simples deverá ser um algarismo ímpar. Há dois casos a considerar: _ _ _ _ 5 e _ _ _ _ 7. Como 5 e 7 estão fixos, a permutação será entre os quatro algarismos restantes. Logo há 2.4! = 2(24) = 48 números ímpares. O espaço amostral será 5! = 120 números de cinco algarismos distintos. Logo, 48/120=2/5

10. (EFOA-MG) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou um número par é:

(a) 60%      (b) 70%      (c) 80%      (d) 90%      (e) 50%

N° maior que 40= 60 dos 100 

n° ser par 50 de 100

maior que 40 e par= 30 dos 100 

60/100+50/100-30/100=80/100

FEIRA DE CIÊNCIAS E CULTURA DO CEOM 2013.

ACONTECE POR TODO O DIA DE HOJE NO COLÉGIO ESTADUAL OTACÍLIO MOTA, A FEIRA DE CIÊNCIAS E CULTURA.

MEMÓRIA, CULTURA E SUSTENTABILIDADE EM BUSCA DE NOSSOS ANCESTRAIS.

NA FEIRA OS ALUNOS EXPÕEM TRABALHOS DE TODAS AS ÁREAS DO CONHECIMENTO ACADÊMICO COMO: JOGOS MATEMÁTICOS, TEODOLITO, GUINDASTE HIDRÁULICO,MÃO MECÂNICA, CUBO MÁGICO, XADREZ, LITERATURA E DIVERSAS EXPERIÊNCIAS EM QUÍMICA E AINDA HOMENAGENS A CIDADÃOS IPUEIRENSES QUE FAZEM PARTE DA CULTURA LOCAL TIPO: TONY ARAGÃO, COSTA MATOS, FROTA NETO DENTRE OUTROS.

ANÁLISE COMBINATÓRIA.

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

Exemplo 1
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
Resolução:
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.
P = 4! = 24

ARRANJO SIMPLES

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são:

312, 321, 132, 123, 213, 231

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

Veja o exemplo abaixo:

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.



Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos:

A_3,2 = 3 . 2 . 1 = 6

Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:

Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.

Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.

Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p

A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:

COMBINAÇÃO SIMPLES

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:

Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis.

Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.


Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?
Resolução
O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:

Poderão ser formadas 4060 equipes. 

QUE TAL ASSISTIR AO VÍDEO ABAIXO?

AGORA VOCÊ JÁ CONSEGUE RESOLVER ALGUNS EXERCÍCIOS:

http://cursomentor.files.wordpress.com/2010/06/lista-de-exercicios-e28094-analise-combinatoria-v-1.pdf

http://pessoal.educacional.com.br/up/4380001/4947854/LISTA%20DE%20EXERC%C3%8DCIOS%20-%20AN%C3%81LISE%20COMBINAT%C3%93RIA.pdf